Metode Kuadrat Terkecil: Contoh Soal dan Pembahasan

Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama Least-Squares Method adalah suatu metode untuk mendapatkan kurva terbaik yang mewakili titik-titik data dengan cara meminimumkan perbedaan/selisih antara titik-titik data dan kurva.

Tujuan Metode Kuadrat Terkecil

Dirangkum dari web Williams.edu, metode kuadrat terkecil digunakan untuk memprediksi perilaku variable terikat dan digunakan untuk melakukan suatu estimasi atau peramalan pada masa yang akan datang. Metode kuadrat terkecil dapat dibagi dalam dua kasus, yaitu kasus data genap dan kasus data ganjil.

Kelebihan Metode Kuadrat Terkecil

Beberapa kelebihan Least-square method diantaranya:

  • Metode ini bebas dari bias pribadi analis karena sifatnya sangat objektif.
  • Dengan metode kuadrat terkecil kita bisa menemukan nilai tren untuk seluruh deret waktu.
  • Kita bisa melakukan peramalan masa lalu dari nilai masa depan dengan sempurna, karena metode ini memberi kita hubungan fungsional antara dua variabel dalam bentuk persamaan garis tren, yaitu. Yc = a + bX, Yc  = a + bX + cX² + …. atau Yc = abX dan sebagainya.
  • Metode ini memberi kita garis ideal dimana jumlah deviasi positif dan negatifnya adalah nol, dan jumlah kuadrat deviasinya yang paling kecil adalah
    – ∑ (Y-Yc) = 0
    – ∑ (Y-Yc)2 = Nilai terkecil.
  • Least-square merupakan metode yang paling populer dan banyak digunakan untuk menyelesaikan fungsi matematis pada sekumpulan pengamatan tertentu.
  • Metode ini sangat fleksibel dalam arti memungkinkan untuk menggeser asal tren dari satu titik waktu ke titik lain, dan untuk konversi persamaan tren tahunan menjadi persamaan tren bulanan, atau kuartalan, dan sebaliknya.

Contoh Kasus

Untuk memudahkan pemahaman sobat, disini kami menyediakan contoh kasus “Menentukan stok pulsa pada suatu Konter dengan metode Least-Square Method”.

Persamaan garis trend yang akan dicari ialah : Y = a + bX , dimana:

\(a = \frac{\sum Y}{n}\) dan \(b = \frac{\sum XY}{\sum X^{2}}\)

dengan :

Y = data berkala (time series) = taksiran nilai trend.
a = nilai trend pada tahun dasar.
b = rata-rata pertumbuhan nilai trend tiap tahun.
X = variabel waktu (hari, minggu, bulan atau tahun).

Untuk melakukan penghitungan, maka diperlukan nilai tertentu pada variabel waktu(x) sehingga jumlah nilai variabel waktu adalah nol atau Σx=0.

Untuk n ganjil maka :

  1. Jarak antara dua waktu diberi nilai satu satuan.
  2. Di atas 0 diberi tanda negatif.
  3. Dibawahnya diberi tanda positif.

Untuk n genap maka :

  1. Jarak antara dua waktu diberi nilai dua satuan.
  2. Di atas 0 diberi tanda negatif.
  3. Dibawahnya diberi tanda positif.

Untuk melakukan perhitungan kebutuhan stok menggunakan metode least-square ini dibagi dalam dua kasus, yaitu kasus data genap dan kasus data ganjil.

Secara umum persamaan garis linier dari analisis time series adalah : Y = a + bX. Y adalah variabel yang dicari trendnya dan X adalah variabel waktu.Sedangkan untuk mencari nilai konstanta (a) dan parameter (b) adalah : a = Σ Y / n dan b = Σ XY / Σ X2.

Berikut simulasi dari kedua kasus tersebut :

1. Simulasi Data Ganjil

Bulan (X)Penjualan (Y)XiXiYiXi2
September1265-1-12651
Oktober1198000
November1228112281
Σ3691-372
Data Ganjil

Untuk mencari nilai a dan b adalah sebagai berikut :
a = 3691 / 3 = 1230,33 dan
b = -37 / 2 = -18,5
Persamaan garis liniernya adalah : Y = 1230,33 + (-18,5) X

Dengan menggunakan persamaan tersebut, dapat diramalkan penjualan pada bulan Desember adalah :
Y = 1230,33 + (-18,5) X (untuk bulan Desember nilai X adalah 4), sehingga :
Y = 1230,33 + (-74) = 1156,3

Artinya penjualan barang “P” pada bulan Desember diperkirakan sebesar 1156,3 atau 1156 (dibulatkan).

2. Simulasi Data Genap

Bulan (X)Penjualan (Y)XiXiYiXi2
September1265-3-37959
Oktober1198-1-11981
November1228112281
Desember1245337359
Σ4936-3020
Data Genap

Untuk mencari nilai a dan b adalah sebagai berikut :
a = 4936 / 4 = 1234 dan
b = -30 / 20 = -1,5
Persamaan garis liniernya adalah : Y = 1234 + (-1,5) X

Dengan menggunakan persamaan tersebut, dapat diramalkan penjualan pada bulan Januari adalah :
Y = 1234 + (-1,5) X (untuk bulan Januari nilai X adalah 5), sehingga :
Y = 1234 + (-7,5) = 1226,5

Artinya penjualan barang “P” pada bulan Januari diperkirakan sebesar 1226,5 atau 1227 (dibulatkan).

Contoh Soal Metode Kuadrat Terkecil

Setelah membaca pembahasan diatas, berikut kami sertakan contoh soal metode kuadrat terkecil yang dapat sobat gunakan sebagai bahan latihan.

1. Dari sebuah rumah produksi koran diperoleh data produksi dan penjualan sebagai berikut :

TahunProduksi (unit)Penjualan (juta rupiah)
199730030
199832030,2
199926030,55
200040031,5
200141035
200241240,1
Data diambil dari Google.

Pertanyaan :
a. Buatlah trend produksi dengan metode least square method
b. Tentukan estimasi produksi pada tahun 2004

Jawaban :
Dari soal diatas (tahun 1999 akan kita jadikan tahun dasar dan kita cari estimasi produksi di tahun 2004), maka :

TahunProduksi (Y)XXYX2
1997300-2-6004
1998320-1-3201
1999260000
200040014001
200141028204
2002412312369
Jumlah21023153619

Lalu kita melakukan Eliminasi dengan cara :

b = 27,714, disubstitusikan ke persamaan:
2102 = 6a + 3b
2102 = 6a + 3(27,714)
2102 = 6a + 83,142
6a = 2102 – 83,142
a = 2108,858/6 = 336,476

Jadi persamaan trend produksi dengan metode Least Square adalah: Y = 336,476 + 27,714X

Sehingga estimasi produksi untuk tahun 2004 (X=5) adalah:
Y = 336,476 + 27,714X
Y = 336,476 + 27,714(5)
Y = 336,476 + 138,57
= 475,046

Akhirnya diketahui estimasi produksi koran untuk tahun 2004 sebanyak 475,046 buah.

2. Berikut adalah perkembangan asset pemerintah Indonesia tahun 2014 – 2020 (sumber: https://kemenkeu.go.id), tentukan trend perkembangan nilai asset dan estimasi nilai aset tahun 2030 dengan menggunakan least square method:

TahunNilai Aset (Triliun)
20143910
20155163
20165456
20175947
20186325
201910467
202011098

Jawaban :

Buat tabel kolom baru, beri nama X, XY, dan dan X². Lalu hitung nilainya.

TahunAsetXXYX2
20143910-3-117309
20155163-2-103264
20165456-1-54561
20175947000
20186325163251
2019104672209344
2020110983332949
Jumlah4836603304128

Selanjutnya kita cari nilai a dan b :

Maka persamaan trendnya adalah Y = 6909,42 + 1180,03 X

Sehingga estimasi nilai aset tahun tahun 2030 (X = 13) adalah:

y =a+bX
= 6909,42 + 1180,03 (13)
= 22249.81

Jadi estimasi aset pada tahun 2030 dengan least square method adalah 22249,81 triliun

Nah, itulah contoh soal dan pembahasan metode kuadrat terkecil yang telah kami kupas tuntas. Bagaimana sobat Tuntas, sudah nggak bingung kan dengan materi least-square method?

Bagikan Artikel Ini :